Matemática - Como comparar raízes?

Como comparar raízes?

Objetivo

A radiciação é uma operação que, muitas vezes, causa constrangimentos pelo fato de gerar raízes não exatas, classificadas como números irracionais. Uma forma de explorar esse tipo de operação é o exercício de comparar duas raízes. Neste plano de aula enfocaremos procedimentos que facilitam esse tipo de comparação.

Utilizar o conceito de radiciação - e as propriedades da radiciação - para comparar raízes que produzem números irracionais. Discutir as relações que podem ser feitas nesse tipo de comparação, utilizando as propriedades da potenciação e mostrando as limitações da estimativa como um recurso para esse tipo de cálculo.

Estratégias

1) Utilizando problemas numéricos, retomar o conceito de radiciação como a operação inversa da potenciação. Por exemplo: qual o número que elevado a três tem como resultado o valor igual a 2?

2) Utilizando como recurso a relação entre a potenciação e a multiplicação, desafiar os alunos a fazerem estimativas de algumas raízes. Pelo nosso exemplo, podemos transformar a pergunta do problema em: qual o número que multiplicado três vezes tem como resultado o valor igual a 2?

3) Apresentar um problema em que o desafio é comparar o valor de duas raízes, por exemplo:

Mostrar as limitações da estimativa como recurso nesse tipo de comparação. Questionar se não existe um método mais simples e rápido.

4) Retomar as definições da potenciação e da radiciação, transformando o problema gerado pelas raízes em uma pequena equação:

5) Desafiar os alunos a descobrirem um meio de comparar duas potências com expoentes e bases diferentes. Utilizar os dois exemplos que foram gerados pelas raízes que estão sendo comparadas:

6) Mostrar para a classe, por meio de exemplos, que potências com bases diferentes - mas com expoentes iguais - podem ser comparadas com facilidade:

7) Retomar as propriedades da potenciação, discutindo qual delas, quando temos bases e expoentes diferentes, pode ser aplicada como recurso que facilite a comparação de duas potências:

8) Aplicar a propriedade que relaciona a potência de uma outra potência (quando temos como consequência a multiplicação dos expoentes - propriedade 3). Lembrar que, para que a igualdade seja mantida, qualquer operação feita no primeiro membro de uma equação deve ser feita também no segundo membro:

9) Escrever essa conclusão mostrando as raízes que são representadas por x e y, concluindo, dessa forma, a comparação entre e :

Atividades

1) Qual é o valor aproximado da diagonal de um quadrado com 3 cm de lado? Aplicar o teorema de Pitágoras.

2) Qual o valor aproximado de ?

3) Qual das raízes é maior: ou ?