Matemática - Trios pitagóricos

Trios pitagóricos

Objetivos

1) Conhecer o trabalho de alguns geômetras gregos;

2) Rever algumas propriedades de números inteiros;

3) Rever o teorema de Pitágoras;

4) Promover algumas demonstrações.

Público-alvo

Alunos do nono ano do ensino fundamental ou do primeiro ano do ensino médio.

Introdução

Trio pitagórico é a denominação para os três números inteiros que representam as medidas, de mesma unidade, dos três lados de um triângulo retângulo. Euclides (século 3º a.C) mostrou através dos elementos que há infinitos trios pitagóricos.

Atividades

1) Peça aos alunos uma pequena linha do tempo da geometria, na qual deve constar Tales de Mileto, Euclides de Mégara, Eudoxo de Cnido e Pitágoras de Samos, com breves dados biográficos dos mesmos. Esta atividade é interessante para que fique claro os conhecimentos e descobertas de cada um, em determinados pontos da evolução humana;

2) Peça aos alunos uma das muitas demonstração do teorema de Pitágoras;

3) Neste ponto, os alunos já sabem que Pitágoras precedeu Euclides e, que, portanto, este já conhecia a demonstração do teorema sobre triângulos retângulos;

4) Leia para eles a demonstração de Euclides para o fato de haver um número infinito de trios pitagóricos. A prova de Euclides começa com a observação de que a diferença entre dois quadrados sucessivos é sempre um número ímpar.

Em outras palavras, cada um dos infinitos números ímpares pode ser somado a um quadrado perfeito para criar outro quadrado perfeito. Alguns desses números ímpares podem ser quadrados perfeitos, mas uma fração de infinitos números também é infinita.

Portanto, existe uma infinidade de números ímpares ao quadrado que pode ser somada a um quadrado perfeito para criar outro quadrado. Existe, assim, um número infinito de trios pitagóricos (adaptado de Singh, Simon - "O Último Teorema de Fermat", Ed. Record);

5) Proponha depois a seguinte questão: um trio pitagórico pode ser gerado da seguinte forma:

• Escolher dois números pares consecutivos ou dois números ímpares consecutivos;
• Calcular a soma de seus inversos, obtendo-se uma fração cujo numerador e denominador representam, respectivamente, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo;
• Calcular a hipotenusa, usando o teorema de Pitágoras.a) Utilizando os procedimentos descritos, calcule as medidas dos três lados de um triângulo retângulo, considerando os números pares 4 e 6.

b) Considere x um número inteiro maior do que 1 e que (x - 1) e (x + 1) representam dois pares ou dois ímpares consecutivos. Demonstre que esses dois números geram um trio pitagórico.

6) As soluções são as seguintes:

a) Sejam a, b e c, respectivamente, a hipotenusa e os catetos do triângulo procurado. De acordo com o enunciado, temos:

onde b = 5 e c = 12.

Logo,

b) De modo análogo ao item a, temos:

e assim, b = 2x e c = x² -1.

Daí,

e como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que x² + 1, 2x e x² -1 são inteiros.

Conclusão da atividade

Outro modo de calcular trios pitagóricos: Escolha dois números primos entre si u e v, u > v. Um trio pitagórico x, y, z, se obtém a partir de u e v assim:

x = (u² - v²), y = 2uv, z = (u² + v²).

Por que isso dá certo?