Leitura e interpretação de gráficos: Cada vez mais os vestibulares exigem essa competência

George Schlesinger, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
(Atualizado em 05/05/2014, às 12h40)

Existem diversos tipos de gráficos: linhas, barras, pizzas etc. Estudaremos aqui os gráficos constituídos de linhas num sistema cartesiano de eixos coordenados.

A primeira exigência ao deparar com um gráfico parece óbvia, mas nem sempre é verificada com o cuidado necessário: identificar exatamente o que representam o eixo horizontal e o eixo vertical, bem como as unidades de cada grandeza quando são gráficos de grandezas físicas.

A característica de um gráfico cartesiano é basicamente mostrar como uma grandeza varia em função de outra. Habitualmente reservamos o eixo horizontal para a grandeza que varia independentemente, e o eixo vertical para a grandeza cuja variação é provocada pela primeira.

Por exemplo:


 

 

 

Na figura 1 a posição y varia parabolicamente à medida que x vai crescendo.

Na figura 2 a velocidade v de um corpo varia de forma diretamente proporcional à passagem do tempo t (dizemos que se trata de uma variação linear). Existem gráficos (como os exemplos acima) em que se constata uma variação "organizada", ou seja, a linha do gráfico representa uma função matemática, possível de ser representada algebricamente. É o que ocorre com gráficos no campo da física, em vários aspectos da química e algumas áreas da biologia. Eis alguns exemplos:


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a. Variação da posição de um corpo em função do tempo no movimento uniformemente variado.

b. Variação da temperatura de um corpo conforme a quantidade de calor fornecida.

c. Variação do comprimento de um corpo com a variação da temperatura.

d. Variação do volume de um gás com mudança de pressão, mantendo a temperatura constante (o volume diminui à medida que a pressão aumenta).

e. Crescimento de um determinado microorganismo numa amostra biológica (trata-se de um crescimento exponencial).

Chamamos mais uma vez a atenção para a importância da identificação correta das grandezas representadas em cada um dos eixos, bem como as respectivas unidades de medida.


Os gráficos acima são aparentemente iguais. Representam, porém, dois movimentos distintos: o primeiro representa um movimento uniforme, com a posição s variando (no caso, crescendo) linearmente com o tempo, ou seja, a velocidade é constante. No segundo gráfico, a grandeza que varia (cresce) linearmente com o tempo é a velocidade, e portanto o gráfico representa um movimento uniformemente variado. É a isso que nos referimos quando mencionamos a importância da identificação correta das grandezas representadas.

Repare que a função que origina o gráfico pode ser crescente ou decrescente, ou ainda haver trechos em que é crescente e outros em que é decrescente. É o que ocorre, por exemplo, no gráfico A na primeira fase: o corpo se aproxima da origem (a posição vai diminuindo) até um ponto mínimo. A partir daí a posição passa a aumentar, ou seja, o corpo mudou o sinal de sua velocidade, passou a ir "para frente". O único jeito de um corpo mudar o sentido em que está indo, é parando. Concluímos portanto que neste ponto mínimo o corpo parou para mudar o sentido do movimento.

Este foi um exemplo de interpretação de gráfico. Interpretar significa que o gráfico pode nos dar mais informações além daquelas exibidas à primeira vista.

Vamos ver mais alguns exemplos de interpretação:

Em primeiro lugar, nunca esquecer que, convencionalmente, o sentido dos gráficos é da esquerda para a direita (horizontal) e de baixo para cima (vertical). Assim, o ponto onde o gráfico cruza o eixo vertical representa a situação inicial do problema. No gráfico A o valor 3 metros significa que esse é o lugar de onde o corpo sai. No gráfico C esse ponto representa o comprimento inicial do corpo. No gráfico E, o número de organismos na amostra quando teve início a experiência.

É óbvio que se o gráfico começar na origem O (ponto 0,0) do sistema de coordenadas, a situação inicial é nula. Em alguns casos isso é possível, em outros não. Por exemplo, um móvel pode sair do repouso (velocidade inicial nula), mas nenhum corpo pode ter zero como comprimento inicial, e deve haver pelo um organismo na amostra para que a reprodução seja possível (se for um organismo que se reproduza por divisão celular; se a reprodução for sexuada, precisamos ter no mínimo dois).

Outra informação interessante nos é dada pelo gráfico D: o nome dessa curva é hipérbole equilátera, e ela jamais encosta em nenhum dos dois eixos, pois é impossível que o volume seja zero ou que a pressão seja zero - o que implicaria um volume infinito.

Muitas vezes podemos calcular uma grandeza que não está no gráfico, por alguma associação entre as grandezas presentes. Os gráfico abaixo, H e I, são os mesmos que F e G, assinalando alguns detalhes a mais. No gráfico H, se escolhermos dois pontos quaisquer, se dividirmos a variação vertical pela variação horizontal , obteremos a velocidade - neste caso, uma velocidade constante de 2 m/s. Se fizermos o mesmo no gráfico I , obteremos a aceleração - neste uma aceleração constante de 2 m/s2. Para isto, porém, há uma condição fundamental, um cuidado que precisa se tomar: as grandezas nos eixos precisam ser compatíveis, ou seja, se o tempo estiver em segundos, a velocidade terá de estar em metros por segundo.

O gráfico I pode nos fornecer ainda outra informação importante: se escolhermos dois pontos na reta que retrata a variação de velocidade, a área delimitada pela própria reta, pelo eixo horizontal e pelas verticais que descem dos dois pontos (neste caso, a área é um trapézio) representa a distância percorrida por esse móvel nesse intervalo de tempo. Assim vejamos:


Assim, a distância percorrida pelo móvel entre 0 e 2 segundos é a área do trapézio: (2+4).2/2 = 6 metros

Este recurso é muito utilizado quando se quer calcular o trabalho realizado por uma força, quando temos um gráfico de força (F) por distância (d); ou - lembrando a importância de se prestar atenção às grandezas representadas - calcular o impulso de uma força quando o gráfico é força (F) x tempo (t). Mais uma vez, é importante a coerência entre as unidades: a força em newtons, a distância em metros e o tempo em segundos.



 

 

 

 

 

No primeiro gráfico, a área da figura formada pode ser desmembrada em dois trapézios, cujas áreas são: (5+10).2/2 = 15 e (5+3).10/2 = 40. Portanto, como as unidades são compatíveis, o trabalho total realizado por essa força variável é de 15+40 = 55 Joules.

No segundo gráfico, a figura formada (mesmo que ela não seja "fechada" com o eixo x) é um trapézio de área (5+3).50/2 = 200. Como as unidades são compatíveis, o impulso é de 200 Nxm.

Veja errata.

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    George Schlesinger, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro civil e atua como professor de Física e Matemática.

    

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